Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими[en]. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения[en]понижения[en].
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:
155 312
333
20 639
1 151
313 708
#170. ГИПОТЕЗА РИМАНА — ПРОБЛЕМА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ!
А.Н. Паршин. Теория представлений, комплексные торы и тета-функции: старое и новое
Оценка сложности алгоритмов | О большое | Алгоритмы и структуры данных
Лекция 1 | Гладкие аналитические функции | Константин Дьяконов | Лекториум
ВСЯ СЛОЖНОСТЬ АЛГОРИТМОВ ЗА 11 МИНУТ | ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения.
Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и , где z может быть любым комплексным числом, а ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой
где и . Функция является формой Якоби[en]. Если фиксировать , функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству
Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода и удовлетворяет функциональному уравнению
где a и b — целые числа.
Вспомогательные функции
Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:
Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами
Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома[en], а не . В обозначениях Якоби θ-функции записываются в виде:
Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Тета-функции Якоби (вариации обозначений)[en] с дальнейшим обсуждением.
Если мы положим в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых.
Тождества основная
Так называемые функции «тета-нульверт» (Theta-Nullwert) имеют следующее представление суммы и следующее представление произведения:
Тета-функция удовлетворяет следующему основному соотношению с «номеном q»:
Следующие две формулы определяют полный эллиптический интеграл первого типа и согласуются друг с другом:
Тождества Якоби
В частности Тождества Якоби определяется следующей формулой:
Эта формула представляет собой кривой Ферма четвертой степени.
Тождества Якоби также возникает как комбинация трех квадратичных соотношений:
Объединение этих трех формул дает следующую формулу:
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями и . Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к имеет тот же эффект, что и добавление к z (mod 2). Во втором случае положим
Тогда
Тета-функции в терминах нома
Вместо выражения тета-функций в терминах z и мы можем выразить их в терминах аргумента w и нома[en]q, где , а . В этом случае функции превращаются в
Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p-адических чисел.
Представления произведений
Тройное произведение Якоби (специальный случай тождеств Макдональда[en]) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с и мы имеем
Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта <i>An Introduction to the Theory of Numbers</i>[en].
Если мы выразим тета-функцию в терминах томов и , то
Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида
В терминах w и q:
где является q-символом Похгаммера, а является <link href="mw-data:TemplateStyles:r117753614" rel="mw-deduplicated-inline-style"/><span class="ts-math" style="font-style:italic;">q</span>-тета-функцией[en]. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид
что можно также переписать в виде
Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций
Интегральные представления
Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:
В следующей таблице приведены лемнискатические значения функций ϑ₁₀(x) и ϑ₀₀(x):
x
ϑ₁₀(x)
ϑ₀₀(x)
Дополнительные значения для ϑ₀₀(x):
И с греческой буквой показано Золотое сечение. Символом обозначена постоянная Гаусса, которая представляет собой отношение лемнискатической константы к числу π. Только что показанные значения были исследованы южнокорейским математиком Джинхи Йи из Пусанского национального университета (부산 대학교). Их результаты впоследствии были опубликованы в Журнале математического анализа и приложений. Кроме того, применяются следующие значения:
Эти два значения можно определить непосредственно с помощью формулы суммы Пуассона:
Эквиангармонические значения
Функция ϑ₀₀ имеет следующие эквиангармонические значения функции:
Некоторые эквиангармонические значения тета-функции были исследованы, в частности, математиками Брюсом Карлом Берндтом и Орсом Ребаком.
Значения тета над факториалами восьмых
Значения функции вида ϑ₀₁:
Некоторые тождества с рядами
Следующие два тождества для рядов доказал Иштван Мезо[3]:
Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1. Фиксируя значения q, мы получим следующие свободные от параметров суммы
Нули тета-функций Якоби
Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:
и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s. Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица.
Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса
Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку
,
где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘(z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.
Связь с q-гамма функцией
Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с <link href="mw-data:TemplateStyles:r117753614" rel="mw-deduplicated-inline-style"/><span class="ts-math" style="font-style:italic;">q</span>-гамма-функцией Джексона[en] соотношением[4].
Связь с эта-функцией Дедекинда
Пусть — эта-функция Дедекинда[en], а аргумент тета-функции представлен как ном[en]. Тогда
Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями[5]. Принимая вещественным, а с вещественным и положительным t, мы можем записать
Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в с тета-функцией.
Связь с группой Гейзенберга
Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении[en] группы Гейзенберга.
Обобщения
Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна
с суммой по решётке целых чисел ℤn. Эта тета-функция является модулярной формой с весом (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье
Тогда, если дано , тета-функция Римана определяется как
Здесь является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с и , где является верхней полуплоскостью.
Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах .
Функциональное уравнение функции
которое выполняется для всех векторов и для всех }} и .
Согласно Теореме Абеля-Руффини общее уравнение пятой степени не может быть решено в элементарной радикальной форме. Но общее решение вполне возможно с помощью эллиптических функций. С тета-функцией общий случай Уравнения пятой степени также может быть решен как функция эллиптического «номена q» из эллиптического модуля, который всегда «элементарен» в зависимости от коэффициентов. Для следующего уравнения пятой степени в форме Бринга-Джеррарда общее решение может быть представлено в упрощенной форме тета-функцией ϑ₀₀:
Для всех реальных значений имеет показанную сумму функции пятой степени и идентичную функцию отображения для в зависимости от точно реальное решение. И это фактическое решение может для всех действительных значений может быть вызвано точно по следующему алгоритму:
Método de resolución de las ecuaciones quínticas a través de la función theta
Уравнение Бринга – Джеррарда:
Значение эллиптической функции «Номен q»:
Актуальное решение для :
Три примера расчета
Ниже в качестве примеров рассматриваются три уравнения, которые можно решить с помощью тета-функции Якоби, но вообще нельзя решить с помощью элементарных корневых выражений:
Тот же образец процедуры применяется в следующем уравнении:
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun.sec. 16.27ff. // Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4.
Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970. — (Физико-математическая библиотека инженера). — ISBN 0-8218-4532-2.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra.ch. 6 // Riemann Surfaces. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90465-4.. (обсуждение тета-функции Римана)
Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 4th. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
James Pierpont. Functions of a Complex Variable. — New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. — Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. — ISBN 0-683-07196-3.
William P. Reinhardt, Peter L. Walker.Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank W. L. Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Cambridge University Press, 2010. — ISBN 978-0521192255,.
Whittaker E. T., Watson G. N.ch. 21 // A Course in Modern Analysis. — 4th. — Cambridge: Cambridge University Press, 1927.(история θ-функций Якоби)
Jinhee Yi. Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2004. — Т. 292. — С. 381–400. — doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009.
István Mező. A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function // Journal of Number Theory. — 2012. — Т. 133, вып. 2. — С. 692–704. — doi:10.1016/j.jnt.2012.08.025.
István Mező. Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2013. — Т. 141, вып. 7. — С. 2401–2410. — doi:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5.
Литература для дальнейшего чтения
Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники).
Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М.: МК НМУ, 1994.
Hershel M. Farkas.Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7.
Bruno Schoeneberg.IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag, 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X.
Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М., 2003.
Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97.
Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987.
G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org).