Седловая поверхность

Седловая поверхность (устаревшее название — антикластическая) — гладкая поверхность, все точки которой седловые, то есть имеют отрицательную гауссову кривизну.

Термин происходит от специфической формы поверхности, напоминающей седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз.

Определение

Поверхность ${\displaystyle \Pi }$ называется (строго) седловой, если для любой точки ${\displaystyle p\in \Pi }$ произведение главных кривизн ${\displaystyle k_{1}(p){\cdot }k_{2}(p)}$ неположительно (отрицательно).

Примеры

• Минимальная поверхность
• Однополостный гиперболоид
• Гиперболический параболоид
• Обезьянье седло

Свойства

• Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну.
• От седловой поверхности нельзя отрезать горбушку плоскостью. Более точно: пересечение плоскости с седловой поверхностью не имеет компактных компонент.
  • Это свойство используется при определении седловых поверхностей в негладком случае.

Вариации и обобщения

• Понятие седловой поверхности обобщается на негладкий случай, как поверхность с которой нельзя срезать шапочку. Более точно поверхность ${\displaystyle s(u,v)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ называется (обобщенно) седловой поверхностью если для любой линейной функции ${\displaystyle \ell \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ композиция ${\displaystyle \ell \circ s}$ не имеет строгих локальных минимумов и максимумов.

Поверхность в природе

• В верхней части хватательных конечностей раков-богомолов находится седлообразное образование, способствующее скоростному захвату добычи посредством сжатия и растяжения подобно пружине^[1].

См. также

• Поверхность второго порядка
• Коническая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид

Примечания

1. ↑ The shrimp with a kick!  (неопр.) Дата обращения: 4 июня 2014. Архивировано 6 июня 2014 года.

Литература

• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — URSS, 1936.
• Фоменко В. Т. Поверхности отрицательной кривизны. — Соросовский образовательный журнал, N 12, 1999.

Эта страница в последний раз была отредактирована 2 февраля 2023 в 10:48.