Сглаживающий оператор

Сглаживающие операторы — это гладкие функции со специальными свойствами, используемые в теории распределений для построения последовательности гладких функций, приближающей негладкую (обобщённую) функцию с помощью свёртки. Интуитивно, имея функцию с особенностями и осуществляя её свёртку со сглаживающей функцией, получаем «сглаженную функцию», в которой особенности исходной функции сглажены, хотя функция остаётся близкой к исходной функции^[1]. Операторы известны также как сглаживающие операторы Фридрихса по имени Курта Отто Фридрихса, который рассматривал их в статье 1944 года^[2].

Исторические замечания

Сглаживающие операторы ввёл Курт Отто Фридрихс в статье 1944 года^[2], которая сейчас считается водоразделом в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными^[3].

До этой статьи сглаживающие операторы использовал Сергей Львович Соболев в своей эпохальной статье 1938 года^[4], которая содержит доказательство теоремы о вложении Соболева^[en], и Фридрихс^[5] сам признал работу Соболева по сглаживающим операторам, написав: «Эти сглаживающие операторы были введены Соболевым и автором...».

Следует указать, что существует некоторое разногласие относительно понятия сглаживающего оператора — Фридрихс определяет как «cглаживающий оператор» интегральный оператор, ядро которого является одной из функций, которые ныне называют сглаживающими операторами. Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определены его ядром, название «cглаживающий оператор» унаследовало само ядро.

Определение

Современное (основанное на распределинии) определение

Если ${\displaystyle \varphi }$ является гладкой функцией на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, n ≥ 1, удовлетворяющей следующим трём требованиям

(1) Функция имеет компактный носитель^[6]

(2) ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3) ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака и предел должен пониматься в пространстве Шварца распределений, тогда ${\displaystyle \varphi }$ является сглаживающим оператором. Функция ${\displaystyle \varphi }$ может удовлетворять дополнительным условиям^[7]. Например, если она удовлетворяет

(4) ${\displaystyle \varphi (x)\geqslant 0}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, то функция называется положительным сглаживающим оператором

(5) ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$ для некоторой бесконечно дифференцируемой функции ${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} }$, то функция называется симметричным сглаживающим оператором.

Замечания об определении Фридрихса

Замечание 1. Когда теория распределений не была ещё широко распространена^[8] свойство (3) выше формулировалось следующим образом: свёртка функции ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$ с данной функцией, принадлежащей подходящему гильбертову или банахову пространству сходится при ε → 0 к дельта-функции^[9], это в точности то, что писал Фридрихс^[10]. Это также объясняет, почему сглаживающие операторы связаны с аппроксимативными единицами^[en].^[11]

Замечание 2. Как кратко указано в разделе «Исторические замечания», первоначально термин «сглаживающий оператор» обозначал следующий оператор свёртки^[11][12]:

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$,

где ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ и ${\displaystyle \varphi }$ является гладкой функцией, удовлетворяющая первым трём условиям выше и одному или более дополнительным условиям, таким как положительность и симметрия.

Пример

Рассмотрим функцию ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ от переменной из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&|x|<1\\0&|x|\geqslant 1\end{cases}}}$,

где константа ${\displaystyle I_{n}}$ обеспечивает нормализацию. Легко видеть, что эта функция является бесконечно дифференцируемой неаналитической^[en] с обращающейся в ноль производной для |x| = 1. Функция ${\displaystyle \varphi }$ может поэтому быть использована как сглаживающий оператор как описано выше — легко видеть что ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ определяет положительный симметричный сглаживающий оператор^[13].

Свойства

Все свойства сглаживающего оператора связаны с его поведением при операции свёртки — мы перечислим те, доказательство которых можно найти в любой книге по теории распределений^[14].

Свойства сглаживания

Для любого распределения ${\displaystyle T}$ следующее семейство свёрток, индексированное вещественным числом ${\displaystyle \epsilon }$,

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$,

где ${\displaystyle \ast }$ означает свёртку, является семейством гладких функций.

Аппроксимативная единица

Для любого распределения ${\displaystyle T}$ , следующее семейство свёрток, индексированное вещественным числом ${\displaystyle \epsilon }$, сходится к ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Носитель свёртки

Для любого распределения ${\displaystyle T}$,

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$,

где ${\displaystyle \mathrm {supp} }$ означает носитель распределения, а ${\displaystyle +}$ означает сумму Минковского.

Приложения

Основное приложение сглаживающих операторов — доказательство верности свойств негладких функций, которые верны для гладких функций:

Произведение распределений

В некоторых теориях обобщённых функций сглаживающие операторы используются для определения произведения распределений. А именно, если даны два распределения ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$, предел произведения гладкой функции и распределения

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

определяет (если он существует) произведение распределений в различных теориях обобщённых функций.

Теоремы «Слабый=Сильный»

Очень неформально — сглаживающие операторы используются для доказательства равенства двух различных видов расширений дифференциальных операторов — сильного расширения и слабого расширения^[en]. Статья Фридрихса^[15] иллюстрирует эту концепцию довольно хорошо, однако большое число технических деталей, которые потребуется раскрыть, не позволяют полностью привести эту концепцию в нашем кратком описании.

Гладкие обрезающие функции

Путём свёртки характеристической функции единичного шара^[en] ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ с гладкой функцией ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$ (определённой как в уравнении (3) с ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2}$), получаем функцию

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$,

которая является гладкой, равняется ${\displaystyle 1}$ на ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$, с и носитель которой содержится в ${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$. Это легко видеть, если принять во внимание, что при ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ и ${\displaystyle |y|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ выполняется ${\displaystyle |x-y|}$ ≤ ${\displaystyle 1}$. Отсюда, для ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$,

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Легко понять, как это построение может быть обобщено для получения гладкой функции, равной единице в окрестности заданного компактного множества и равной нулю в любой точке, расстояние от которой до этого множества больше заданного ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon }$^[16]. Такая функция называется (гладкой) обрезающей функцией — такие функции используются для вырезания особенностей данной (обобщённой) функции путём умножения. Умножение на такую функцию не меняет значения (обобщённой) функции только на заданном множестве, но меняет носитель функции.

См. также

• Аппроксимативная единица^[en]
• Неаналитическая гладкая функция^[en]
• Буферная функция^[en]
• Свёртка
• Преобразование Вейерштрасса
• Обобщённая функция, Распределение
• Курт Отто Фридрихс
• Сергей Львович Соболев

Примечания

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 25 января 2023 в 23:58.