Призматический однородный многогранник — однородный многогранник с диэдральной симметрией. Они образуют два бесконечных семейства, однородные призмы и однородные антипризмы. Все они имеют вершины на двух параллельных плоскостях, а потому все они являются призматоидами.
Вершинная конфигурация и группы симметрии
Поскольку они являются изогональными (вершинно-транзитивными), их расположение вершин однозначно соответствует группам симметрии.
Разница между призматическими и антипризматическими группами симметрии заключается в том, что Dph имеет рёбра, связывающие вершины на двух плоскостях, перпендикулярные этим плоскостям, что задаёт плоскость симметрии, параллельную многоугольникам, в то время как Dpd имеет скрещивающиеся рёбра, что даёт вращательную симметрию. Каждое тело имеет p плоскостей отражений, которые содержат p-кратные оси многоугольников.
Группа симметрии Dph содержит центральную симметриию тогда и только тогда, когда p чётно, в то время как Dpd содержит центральную симметрию тогда и только тогда, когда p нечётно.
Список
Существуют:
- Призмы для каждого рационального p/q > 2 с группой симметрии Dph;
- Антипризмы для каждого рационального p/q > 3/2 с группой симметрии Dpd, если q нечётно и Dph если чётно.
Если p/q является целым числом, т.е. q = 1, призма или антипризма выпукла. (Дробь всегда считается несократимой.)
Антипризма с p/q < 2 является самопересекающейся или вырожденной, её вершинная фигура походит на галстук-бабочку. С p/q ≤ 3/2 однородных антипризм не существует, поскольку их вершинная фигура нарушила бы неравенство треугольника.
Рисунки
Замечание: Тетраэдр, куб и октаэдр перечислены ниже как имеющие диэдральную симметрию (как диагональная антипризма, квадратная призма и треугольная антипризма соответственно), хотя, при однородной раскраске, тетраэдр также имеет тетраэдральную симметрию, а куб и октаэдр имеют октаэдральную симметрию.
| Группа симметрии | Выпуклый | Звёздчатые формы | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| d2d [2+,2] (2*2) |
 3.3.3 | |||||||
| d3h [2,3] (*223) |
 3.4.4 | |||||||
| d3d [2+,3] (2*3) |
 3.3.3.3 | |||||||
| d4h [2,4] (*224) |
 4.4.4 | |||||||
| d4d [2+,4] (2*4) |
 3.3.3.4 | |||||||
| d5h [2,5] (*225) |
 4.4.5 |
 4.4.5/2 |
 3.3.3.5/2 | |||||
| d5d [2+,5] (2*5) |
 3.3.3.5 |
 3.3.3.5/3 | ||||||
| d6h [2,6] (*226) |
 4.4.6 | |||||||
| d6d [2+,6] (2*6) |
 3.3.3.6 | |||||||
| d7h [2,7] (*227) |
 4.4.7 |
 4.4.7/2 |
 4.4.7/3 |
 3.3.3.7/2 |
 3.3.3.7/4 | |||
| d7d [2+,7] (2*7) |
 3.3.3.7 |
 3.3.3.7/3 | ||||||
| d8h [2,8] (*228) |
 4.4.8 |
 4.4.8/3 | ||||||
| d8d [2+,8] (2*8) |
 3.3.3.8 |
 3.3.3.8/3 |
 3.3.3.8/5 | |||||
| d9h [2,9] (*229) |
 4.4.9 |
 4.4.9/2 |
 4.4.9/4 |
 3.3.3.9/2 |
 3.3.3.9/4 | |||
| d9d [2+,9] (2*9) |
 3.3.3.9 |
 3.3.3.9/5 | ||||||
| d10h [2,10] (*2.2.10) |
 4.4.10 |
 4.4.10/3 | ||||||
| d10d [2+,10] (2*10) |
 3.3.3.10 |
 3.3.3.10/3 | ||||||
| d11h [2,11] (*2.2.11) |
 4.4.11 |
 4.4.11/2 |
 4.4.11/3 |
 4.4.11/4 |
 4.4.11/5 |
 3.3.3.11/2 |
 3.3.3.11/4 |
 3.3.3.11/6 |
| d11d [2+,11] (2*11) |
 3.3.3.11 |
 3.3.3.11/3 |
 3.3.3.11/5 |
 3.3.3.11/7 | ||||
| d12h [2,12] (*2.2.12) |
 4.4.12 |
 4.4.12/5 | ||||||
| d12d [2+,12] (2*12) |
 3.3.3.12 |
 3.3.3.12/5 |
 3.3.3.12/7 3.3.3.12/7 | |||||
| ... | ||||||||
См. также
Примечания
Литература
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — .
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 175. — ISBN 0-521-55432-2.
- John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вып. 3. — С. 447–457. — doi:10.1017/S0305004100052440..
Ссылки
- Prisms and Antiprisms George W. Hart
Эта страница в последний раз была отредактирована 10 февраля 2020 в 13:49.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.