Правильный треугольник

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

• Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$

• Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$

• Периметр правильного треугольника:

${\displaystyle P=3a=3{\sqrt {3}}R=6{\sqrt {3}}r}$

• Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:

${\displaystyle h=m=l={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

• Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{\sqrt {3}}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{36}}P^{2}}$

• Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:

${\displaystyle R=2r}$

• Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

• В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

• Для равностороннего треугольника T группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, ^2π⁄₃ и ^4π⁄₃ вокруг точки O, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
• На описанной окружности произвольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ${\displaystyle ABC}$, причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
• Равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным треугольником, то есть у него равны все внутренние углы.
• Равносторонний треугольник является частными случаем равнобедренного треугольника, а именно: дважды равнобедренным треугольником.

Правильный сферический треугольник

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его

• Задача Наполеона
• Прямая Симсона одно из свойств
• Теорема Вивиани
• Теорема Морли
• Теорема Наполеона
• Теорема Помпею
• Теоремы Тебо 2 и 3
• Точки Аполлония
• Точки Торричелли

См. также

• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Равнобедренный треугольник
• Теорема Чевы
• Треугольник
• Треугольник Рёло

Примечания

	В Викисловаре есть статья «равносторонний треугольник»

Эта страница в последний раз была отредактирована 5 декабря 2022 в 08:36.