Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество — соотношение ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$, выполняющееся для произвольного значения ${\displaystyle \alpha }$^[1]. Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице^[2].

Доказательства

Используя единичную окружность

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$^[3]. Пускай на окружности лежит точка P, расположенная под углом θ от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: ${\displaystyle x=\cos \theta ;\ y=\sin \theta }$. Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$^[4].

Используя прямоугольный треугольник

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c получаем:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{c}}}$

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}}$. Согласно теореме Пифагора, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, следовательно ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1}$^[5].

См. также

• Тригонометрические тождества
• Список математических тождеств

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 января 2024 в 10:28.