Обобщённое нормальное распределение

Обобщенное нормальное распределение или обобщенное распределение Гаусса (GGD) представляет собой одно из двух семейств параметрических непрерывных распределений вероятностей на вещественной прямой. Оба семейства получаются добавлением параметра формы^[en] к нормальному распределению. Чтобы различать эти два семейства, их называют "симметричным" и "асимметричным", однако эти термины не являются общепринятыми.

Симметричные обобщённые нормальные распределения

Обобщённое нормальное распределение (известное также как распределение Субботина) представляет собой параметрическое семейство симметричных распределений, включающее все нормальные и лапласовские распределение, а в предельных случаях включающее также все непрерывные нормальные распределения на ограниченных интервалах действительной прямой.

Распределение из данного семейства является нормальным при ${\displaystyle \textstyle \beta =2}$ (с математическим ожиданием ${\displaystyle \textstyle \mu }$ и дисперсией ${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$) и является распределением Лапласа при ${\displaystyle \textstyle \beta =1}$. Так как ${\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }$, соответствующая плотность поточечно сходится к одномерной плотности на ${\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}$.

Данное семейство демонстрирует наличие хвостов распределения, которые тяжелее нормальных хвостов при ${\displaystyle \beta <2}$ и легче нормальных при ${\displaystyle \beta >2}$. Введение обобщённого нормального распределения представляет собой удобный способ параметризации множества симметричных плосковершинных (platykurtic) распределений, характеризующихся плотностью, изменяющейся от плотности нормального (${\displaystyle \textstyle \beta =2}$) до плотности равномерного распределения (${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$), и множества симметричных островершинных (leptokurtic) распределений, характеризующихся плотностью, изменяющейся от плотности лапласовского (${\displaystyle \textstyle \beta =1}$) до плотности нормального распределения (${\displaystyle \textstyle \beta =2}$).

Асимметричные обобщённые нормальные распределения

Асимметричное обобщенное нормальное распределение — это семейство непрерывных распределений вероятностей, в которых параметр формы может использоваться для введения асимметрии. Если параметр формы равен нулю, то получается нормальное распределение. Положительные значения параметра формы дают распределения, скошенные слева и ограниченные справа. Отрицательные значения параметра формы дают распределения, скошенные справа и ограниченные слева. В случае, когда параметр формы равен нулю, функция плотности для этого распределения положительна на всей действительной прямой: в этом случае распределение является нормальным. В противном случае распределения смещены (см. также логнормальные распределения).

Оценка параметров

Оценка параметров распределения методом максимального правдоподобия и методом моментов была изучена в ^[1]. Оценки не представимы в виде конечных аналитических выражений и должны определяться численно. Оценки, не нуждающиеся в численном вычислении, также описаны в ^[2].

Обобщённо-нормальная логарифмическая функция правдоподобия имеет бесконечно много непрерывных производных (то есть принадлежит классу C^∞ гладких функций) только тогда, когда ${\displaystyle \textstyle \beta }$ чётное положительное целое число. Иначе данная функция имеет ${\displaystyle \textstyle \lfloor \beta \rfloor }$ непрерывных производных. Следовательно, стандартные результаты для состоятельности и асимптотической нормальности оценки максимального правдоподобия для ${\displaystyle \beta }$ могут быть применены лишь в случае ${\displaystyle \textstyle \beta \geq 2}$.

Приложения

Асимметричное обобщенное нормальное распределение может использоваться для моделирования значений, которые могут быть распределены нормально или которые могут быть смещены либо вправо, либо влево относительно нормального распределения. Косое нормальное распределение^[en] — это ещё одно распределение, которое полезно для моделирования отклонений от нормальности из-за перекоса. Другие распределения, используемые для моделирования искажённых данных — это гамма-распределения, логнормальные распределения и распределения Вейбулла. Однако эти классы распределений не включают нормальные.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 12 октября 2023 в 01:38.