Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии[en] 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.
Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A5 (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A5Z2. Последняя группа известна также как группа Коксетера H3 и представляется в нотации Коксетера[en] как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина.
Энциклопедичный YouTube
1/1
Просмотров:
1 569
Определение инверсионных (сложных) осей симметрии в кристаллах
Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере) с наибольшей группой симметрии.
Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.
Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.
Группа содержит 5 версий Th с 20 версиями D3 (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D5.
Полная икосаэдральная группаIh имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы Ihиндекса 2. Группа Ih изоморфна , или , с центральной симметрией, соответствующей (1,-1), где Z2 записывается мультипликативно.
Ih действует на соединение пяти кубов[en] и соединение пяти октаэдров, но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (cоединения пяти тетраэдров), а −1 обменивает местами две половинки.
В частности, она не действует как S5 и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.
Группа содержит 10 версий D3d и 6 версий D5d (симметрии аналогичные антирпизимам).
I изоморфна также группе PSL2(5), но Ih не изоморфна SL2(5).
Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра
Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:
Заметим, что имеет исключительное[en] неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.
Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:
зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10
зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10
r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6
зеркальное отражение, порядок 2
Явное представление матрицами вращений
В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений , описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота. Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам , где является золотым сечением. Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу . Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как и , пока размер множества не перестанет расти.
В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.
Многогранники с икосаэдральной симметрией
Подробнее см. Многогранники с икосаэдральной симметрией
В химии ион додекабората[en] ([B12H12]2−) и молекула додекаэдрана (C20H20)
Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией
Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами, существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки[2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь.
В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман, что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.
Связанные геометрии
Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.
Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромииповерхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.
Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна[3]. Современное описание дано в статье Тота[4].
Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов[5][6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants[en] (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна[en], ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).
Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых.
Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна[en] (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу» в терминологии В. И. Арнольда, что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы».
Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников.
Felix Klein. Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14, вып. 3. — С. 428–471. — doi:10.1007/BF01677143. Перевод на английский
Felix Klein. Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15, вып. 3—4. — С. 533–555. — doi:10.1007/BF02086276.Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165
Felix Klein. Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. — Trübner & Co., 1888. — ISBN 0-486-49528-0.
Gábor Tóth. Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli. — New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95323-X.